SỞ GD& ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013-2014
QUẢNG NGÃI Ngày thi : 22/3/2014
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1:(4 điểm)
Cho a;b là hai số nguyên dương khác nhau, thoả mãn +a = +b.
Chứng minh
là phân số tối giản.
b) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn: − = 9
Bài 2: (4 điểm)
Cho x≠0 và 
.
Tính giá trị biểu thức 
theo a.
Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn 
.
Tìm giá trị lớn nhất của Q=abc
Bài 3: (4 điểm)
a) Giải phương trình: 
.
b) Giải hệ phương trình: 
và 
.
Bài 4: (6 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố định. EF là dây cung di động trên nửa đường tròn đó, sao cho E thuộc cung AF và  Gọi H là giao điểm của AF và BE; C là giao điểm của AE và BF; I là giao điểm của CH và AB.
a) Tính số đo 

b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn.
c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường tròn để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R.
Bài 5: (2 điểm)
Tìm cạnh của hình vuông nhỏ nhất, biết rằng: hình vuông đó chứa 5 đường tròn có bán kính bằng 1 và 5 đường tròn này đôi một không có quá 1 điểm chung.

--------------Hết-------------

BÀI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014
Môn : TOÁN Ngày thi : 22/3/2014
Câu 1:  1)  2a2+a = 3b2+b ⇔ 2a2+a −2b2−b = b2 ⇔ (a−b)(2a+2b+1) = b2 Gọi (a−b,2a+2b+1) = d  Ta có: a – b ⋮ d, 2a+2b+1⋮d⇒ (a−b) (2a+2b+1) ⋮ d2 ⇒ b2 ⋮ d2 ⇒ b⋮d
Mà a – b ⋮ d ⇒ a⋮d
a⋮d; b⋮d mà 2a+2b+1⋮ d nên 1⋮d ⇒ d=1
Vậy phân số đã cho tối giản.
2) Giả sử cặp số nguyên dương (x; y) là nghiệm của phương trình: 
15x2 − 7y2 = 9 (1) =>15x2 − 9 =7y2=>7y2 ( 3 => y2 ( 3 => y ( 3
Đặt y = 3z và thay vào (1) ta có 15x2 − 63z2 = 9 =>5x2 − 21z2 = 3(2) => x ( 3
Đặt x = 3t và thay vào (2) ta có 45t2 − 21z2 = 3=>15x2 − 7z2 = 1(3)
Nếu z ( 0(mod3) => VP(0(mod3). VT(1(mod3). Vô lí
Nếu z ( 1(mod3) => z2(1(mod3) => − 7z2(2(mod3) .
VP(2(mod3). VT(1(mod3). Vô lí
Nếu z ( 2(mod3) => z2(1(mod3) =>− 7z2(2(mod3)
VP(2(mod3). VT(1(mod3). Vô lí
Vậy không tìm được cặp số nguyên dương (x; y) nào là nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 2: 
Cho 
; x≠0 và 
.Tính giá trị biểu thức
theo a.


Cho ba số dương a , b , c và thỏa mãn điều kiện :
.Tìm giá trị lớn nhất của Q = a.b.c
Giải :Ta có :

Tương tự :

Nhân các bất đẳng thức vừa nhận được ta có :

Hay : abc
. Dấu = xãy ra khi a = b = c =
. Vậy maxQ =

Bài 3: (4 điểm)
a) Giải phương trình
. ĐK : x≤ - 2 ; x > 1.
.
Đặt
ta có phương trình t2 + 4t – 12 = 0 => t =2 hoặc t = - 6 (loại)
(x+2)(x-1) = 2 => x2 + x – 6 = 0 => x = 2(nhận) hoặc x = - 3 (nhận)
b)Giải hệ phương trình: 
.


Vậy nghiệm của hệ là x = y = 1